脚趾甲受伤变黑三个月后有一半脱落可能是甲母质功能受损、脚趾甲坏死、甲癣等原因导致的，需要根据病因来对症治疗。
1、甲母质功能受损
脚趾甲在受伤后会导致甲母质功能受损，影响指甲的生长，导致脚趾甲变脆易断。这种情况下需要及时去医院进行拔甲治疗，以免影响甲母质的功能，导致脚趾甲无法生长。
2、脚趾甲坏死
脚趾甲在受伤后，可能会导致脚趾甲床受损，如果没有及时进行处理，可能会影响脚趾甲的血液供应，导致脚趾甲坏死，出现脚趾甲脱落的情况。患者需要及时去医院进行拔甲治疗，以免影响脚趾甲的血液供应，导致脚趾甲无法生长。
3、甲癣
甲癣是皮肤癣菌侵犯甲床和甲板导致的指甲病变，主要会出现甲板与甲床分离的情况，如果脚趾甲受伤后，可能会导致脚趾甲脱落，患者需要在医生的指导下使用伊曲康唑胶囊、盐酸特比萘芬片、氟康唑片等药物来治疗。
除此之外，脚趾甲受伤变黑三个月后有一半脱落还可能是甲沟炎导致的，患者需要及时去医院就诊，并在医生的指导下进行相应的处理。